12. Sınıf Matematik Limit Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen limit ifadesi: lim x → 0 x + 9 - 3 x Payda sıfıra giderken payda köklü ifadeden dolayı belirsizlik oluşur. Eşleniği ile genişletelim: lim x → 0 x + 9 - 3 x ⋅ x + 9 + 3 x + 9 + 3 Pay kısmı iki kare farkına dönüşür: lim x → 0 ( x + 9 ) 2 - 3 2 x ( x + 9 + 3 ) Kareleri açıp sadeleştirelim: lim x → 0 x + 9 - 9 x ( x + 9 + 3 ) Payda ve paydaki ortak çarpanı sadeleştirince: lim x → 0 1 x + 9 + 3 Artık yerine koyma yapılabilir: 1 9 + 3 1 6 Sonuç bu olduğundan doğru seçenek C507'dır.

Çözüm: Verilen limit ifadesi: lim x → 0 x + 9 - 3 x Payda sıfıra giderken payda köklü ifadeden dolayı belirsizlik oluşur. Eşleniği ile genişletelim: lim x → 0 x + 9 - 3 x ⋅ x + 9 + 3 x + 9 + 3 Pay kısmı iki kare farkına dönüşür: lim x → 0 ( x + 9 ) 2 - 3 2 x ( x + 9 + 3 ) Kareleri açıp sadeleştirelim: lim x → 0 x + 9 - 9 x ( x + 9 + 3 ) Payda ve paydaki ortak çarpanı sadeleştirince: lim x → 0 1 x + 9 + 3 Artık yerine koyma yapılabilir: 1 9 + 3 1 6 Sonuç bu olduğundan doğru seçenek C507'dır.

Verilen limit ifadesi:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}

Payda sıfıra giderken payda köklü ifadeden dolayı belirsizlik oluşur. Eşleniği ile genişletelim:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 9} + 3}{\sqrt{x + 9} + 3}

Pay kısmı iki kare farkına dönüşür:

lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 9})^{2} - 3^{2}}{x (\sqrt{x + 9} + 3)}

Kareleri açıp sadeleştirelim:

lim_{x \to 0} \frac{x + 9 - 9}{x (\sqrt{x + 9} + 3)}

Payda ve paydaki ortak çarpanı sadeleştirince:

lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 9} + 3}

Artık yerine koyma yapılabilir:

\frac{1}{\sqrt{9} + 3}

\frac{1}{6}

Sonuç bu olduğundan doğru seçenek C2665'dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$\lim_{x \to 0} \frac{({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{x}} - e^{2})}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İstenen limit: lim x → 0 ( 1 + 2 x ) 1 x - e 2 x Tanımlayalım: f ( x ) = ( 1 + 2 x ) 1 x Bu durumda limit, f fonksiyonunun 0 noktasındaki türev formuna karşılık gelir (çünkü f(0) değeri limit ile e tabanlı ifadeye gider). Üstel-logaritmik dönüşüm yapalım: f ( x ) = e ln ( 1 + 2 x ) x Şu ifadeyi tanımlayalım: h ( x ) = ln ( 1 + 2 x ) x O hâlde: f ( x ) = e h ( x ) Önce h(x) limitini bulalım: lim x → 0 ln ( 1 + 2 x ) x = 2 Dolayısıyla: lim x → 0 f ( x ) = e 2 Asıl limit: L = lim x → 0 f ( x ) - e 2 x f(x)=e^{h(x)} olduğundan çarpanlara ayıralım: f ( x ) - e 2 = e 2 ( e h ( x ) - 2 - 1 ) Bunu limitte yerine yazalım: L = e 2 lim x → 0 e h ( x ) - 2 - 1 x Şu standart limitten yararlanacağız: lim u → 0 e u - 1 u = 1 Burada u=h(x)-2 alınırsa: L = e 2 lim x → 0 h ( x ) - 2 x Şimdi kalan limiti düzenleyelim: h ( x ) - 2 x = ln ( 1 + 2 x ) x - 2 x = ln ( 1 + 2 x ) - 2 x x 2 Bu limitte 0/0 belirsizliği vardır, L'Hospital uygulayalım: lim x → 0 ln ( 1 + 2 x ) - 2 x x 2 = lim x → 0 2 1 + 2 x - 2 2 x Payı sadeleştirelim: 2 1 + 2 x - 2 = 2 - 2 ( 1 + 2 x ) 1 + 2 x = - 4 x 1 + 2 x Dolayısıyla: lim x → 0 - 4 x 1 + 2 x 2 x = lim x → 0 - 4 2 ( 1 + 2 x ) = - 2 Sonuç olarak: L = e 2 ⋅ ( - 2 ) = - 2 e 2 Bu değer şıklardan A seçeneğindeki ifadeye eşittir; dolayısıyla doğru cevap A’dır. - 2 e 2

Çözüm: İstenen limit: lim x → 0 ( 1 + 2 x ) 1 x - e 2 x Tanımlayalım: f ( x ) = ( 1 + 2 x ) 1 x Bu durumda limit, f fonksiyonunun 0 noktasındaki türev formuna karşılık gelir (çünkü f(0) değeri limit ile e tabanlı ifadeye gider). Üstel-logaritmik dönüşüm yapalım: f ( x ) = e ln ( 1 + 2 x ) x Şu ifadeyi tanımlayalım: h ( x ) = ln ( 1 + 2 x ) x O hâlde: f ( x ) = e h ( x ) Önce h(x) limitini bulalım: lim x → 0 ln ( 1 + 2 x ) x = 2 Dolayısıyla: lim x → 0 f ( x ) = e 2 Asıl limit: L = lim x → 0 f ( x ) - e 2 x f(x)=e^{h(x)} olduğundan çarpanlara ayıralım: f ( x ) - e 2 = e 2 ( e h ( x ) - 2 - 1 ) Bunu limitte yerine yazalım: L = e 2 lim x → 0 e h ( x ) - 2 - 1 x Şu standart limitten yararlanacağız: lim u → 0 e u - 1 u = 1 Burada u=h(x)-2 alınırsa: L = e 2 lim x → 0 h ( x ) - 2 x Şimdi kalan limiti düzenleyelim: h ( x ) - 2 x = ln ( 1 + 2 x ) x - 2 x = ln ( 1 + 2 x ) - 2 x x 2 Bu limitte 0/0 belirsizliği vardır, L'Hospital uygulayalım: lim x → 0 ln ( 1 + 2 x ) - 2 x x 2 = lim x → 0 2 1 + 2 x - 2 2 x Payı sadeleştirelim: 2 1 + 2 x - 2 = 2 - 2 ( 1 + 2 x ) 1 + 2 x = - 4 x 1 + 2 x Dolayısıyla: lim x → 0 - 4 x 1 + 2 x 2 x = lim x → 0 - 4 2 ( 1 + 2 x ) = - 2 Sonuç olarak: L = e 2 ⋅ ( - 2 ) = - 2 e 2 Bu değer şıklardan A seçeneğindeki ifadeye eşittir; dolayısıyla doğru cevap A’dır. - 2 e 2

İstenen limit:

\lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{x}} - e^{2}}{x}

Tanımlayalım:

f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{x}}

Bu durumda limit, f fonksiyonunun 0 noktasındaki türev formuna karşılık gelir (çünkü f(0) değeri limit ile e tabanlı ifadeye gider).

Üstel-logaritmik dönüşüm yapalım:

f (x) = e^{\frac{\ln (1 + 2 x)}{x}}

Şu ifadeyi tanımlayalım:

h (x) = \frac{\ln (1 + 2 x)}{x}

O hâlde:

f (x) = e^{h (x)}

Önce h(x) limitini bulalım:

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} = 2

Dolayısıyla:

\lim_{x \to 0} f (x) = e^{2}

Asıl limit:

L = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - e^{2}}{x}

f(x)=e^{h(x)} olduğundan çarpanlara ayıralım:

f (x) - e^{2} = e^{2} (e^{h (x) - 2} - 1)

Bunu limitte yerine yazalım:

L = e^{2} \lim_{x \to 0} \frac{e^{h (x) - 2} - 1}{x}

Şu standart limitten yararlanacağız:

\lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1

Burada u=h(x)-2 alınırsa:

L = e^{2} \lim_{x \to 0} \frac{h (x) - 2}{x}

Şimdi kalan limiti düzenleyelim:

\frac{h (x) - 2}{x} = \frac{\frac{\ln (1 + 2 x)}{x} - 2}{x} = \frac{\ln (1 + 2 x) - 2 x}{x^{2}}

Bu limitte 0/0 belirsizliği vardır, L'Hospital uygulayalım:

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x) - 2 x}{x^{2}}

Payı sadeleştirelim:

\frac{2}{1 + 2 x} - 2 = \frac{2 - 2 (1 + 2 x)}{1 + 2 x} = \frac{- 4 x}{1 + 2 x}

Dolayısıyla:

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 x}{1 + 2 x}}{2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{- 4}{2 (1 + 2 x)} = - 2

Sonuç olarak:

L = e^{2} \cdot (- 2) = - 2 e^{2}

Bu değer şıklardan A seçeneğindeki ifadeye eşittir; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

- 2 e^{2}

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce limit ifadesini yazalım. lim x → 0 1 - cos ⁡ x - x 2 2 x 4 Bu tip sorularda sıfır civarında kosinüsün Maclaurin açılımını kullanırız. cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + x 4 24 - x 6 720 + ⋯ Bu açılımı payda yerine payda üstündeki ifadede yerine koyup sadeleştirelim. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 = 1 - 1 - x 2 2 + x 4 24 - x 6 720 + ⋯ - x 2 2 Parantezi açınca ikinci dereceden terimler birbirini götürür. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 = x 2 2 - x 4 24 + x 6 720 - ⋯ - x 2 2 Sadeleşme sonrası payın baş terimi dördüncü derecedendir. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 = - x 4 24 + x 6 720 - ⋯ Şimdi tamamını dördüncü kuvvete bölelim. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 x 4 = - 1 24 + x 2 720 - ⋯ Limitte değişken sıfıra giderken ikinci dereceden ve daha büyük terimler sıfıra gider; geriye sabit terim kalır. lim x → 0 1 - cos ⁡ x - x 2 2 x 4 = - 1 24 Sonuç: Doğru seçenek D899'dır.

Çözüm: Önce limit ifadesini yazalım. lim x → 0 1 - cos ⁡ x - x 2 2 x 4 Bu tip sorularda sıfır civarında kosinüsün Maclaurin açılımını kullanırız. cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + x 4 24 - x 6 720 + ⋯ Bu açılımı payda yerine payda üstündeki ifadede yerine koyup sadeleştirelim. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 = 1 - 1 - x 2 2 + x 4 24 - x 6 720 + ⋯ - x 2 2 Parantezi açınca ikinci dereceden terimler birbirini götürür. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 = x 2 2 - x 4 24 + x 6 720 - ⋯ - x 2 2 Sadeleşme sonrası payın baş terimi dördüncü derecedendir. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 = - x 4 24 + x 6 720 - ⋯ Şimdi tamamını dördüncü kuvvete bölelim. 1 - cos ⁡ x - x 2 2 x 4 = - 1 24 + x 2 720 - ⋯ Limitte değişken sıfıra giderken ikinci dereceden ve daha büyük terimler sıfıra gider; geriye sabit terim kalır. lim x → 0 1 - cos ⁡ x - x 2 2 x 4 = - 1 24 Sonuç: Doğru seçenek D899'dır.

Önce limit ifadesini yazalım.

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}

Bu tip sorularda sıfır civarında kosinüsün Maclaurin açılımını kullanırız.

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \dots

Bu açılımı payda yerine payda üstündeki ifadede yerine koyup sadeleştirelim.

1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2} = 1 - (1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \dots) - \frac{x^{2}}{2}

Parantezi açınca ikinci dereceden terimler birbirini götürür.

1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{6}}{720} - \dots - \frac{x^{2}}{2}

Sadeleşme sonrası payın baş terimi dördüncü derecedendir.

1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{6}}{720} - \dots

Şimdi tamamını dördüncü kuvvete bölelim.

\frac{1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}} = - \frac{1}{24} + \frac{x^{2}}{720} - \dots

Limitte değişken sıfıra giderken ikinci dereceden ve daha büyük terimler sıfıra gider; geriye sabit terim kalır.

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}} = - \frac{1}{24}

Sonuç: Doğru seçenek D3849'dır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 x}{x^{3}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 \sin (x)}{x^{3}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Önce şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol etmek için limiti hesaplayalım. 2) Küçük açı için Taylor açılımını kullanalım: sin ( t ) = t - t 3 6 + o ( t 3 ) 3) Burada t = 3 x yazarsak: sin ( 3 x ) = 3 x - ( 3 x ) 3 6 + o ( x 3 ) sin ( 3 x ) = 3 x - 27 x 3 6 + o ( x 3 ) 4) Şimdi sin ( x ) için açılımı yazıp 3 ile çarpalım: 3 sin ( x ) = 3 ( x - x 3 6 + o ( x 3 ) ) 3 sin ( x ) = 3 x - 3 x 3 6 + o ( x 3 ) 5) Payı bulalım: sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) = ( 3 x - 27 x 3 6 + o ( x 3 ) ) - ( 3 x - 3 x 3 6 + o ( x 3 ) ) sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) = - 24 x 3 6 + o ( x 3 ) sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) = - 4 x 3 + o ( x 3 ) 6) Şimdi ifadeyi x 3 ile bölelim: sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) x 3 = - 4 x 3 + o ( x 3 ) x 3 sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) x 3 = - 4 + o ( x 3 ) x 3 7) Limit alınca: lim x → 0 sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) x 3 = - 4 8) Sonuç - 4 olduğu için doğru seçenek D847’dır.

Çözüm: 1) Önce şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol etmek için limiti hesaplayalım. 2) Küçük açı için Taylor açılımını kullanalım: sin ( t ) = t - t 3 6 + o ( t 3 ) 3) Burada t = 3 x yazarsak: sin ( 3 x ) = 3 x - ( 3 x ) 3 6 + o ( x 3 ) sin ( 3 x ) = 3 x - 27 x 3 6 + o ( x 3 ) 4) Şimdi sin ( x ) için açılımı yazıp 3 ile çarpalım: 3 sin ( x ) = 3 ( x - x 3 6 + o ( x 3 ) ) 3 sin ( x ) = 3 x - 3 x 3 6 + o ( x 3 ) 5) Payı bulalım: sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) = ( 3 x - 27 x 3 6 + o ( x 3 ) ) - ( 3 x - 3 x 3 6 + o ( x 3 ) ) sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) = - 24 x 3 6 + o ( x 3 ) sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) = - 4 x 3 + o ( x 3 ) 6) Şimdi ifadeyi x 3 ile bölelim: sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) x 3 = - 4 x 3 + o ( x 3 ) x 3 sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) x 3 = - 4 + o ( x 3 ) x 3 7) Limit alınca: lim x → 0 sin ( 3 x ) - 3 sin ( x ) x 3 = - 4 8) Sonuç - 4 olduğu için doğru seçenek D847’dır.

1) Önce şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol etmek için limiti hesaplayalım.

2) Küçük açı için Taylor açılımını kullanalım:

\sin (t) = t - \frac{t^{3}}{6} + o (t^{3})

3) Burada $t = 3 x$ yazarsak:

\sin (3 x) = 3 x - \frac{(^{3 x) 3}}{6} + o (x^{3})

\sin (3 x) = 3 x - \frac{27}{x^{3}} + o (x^{3})

4) Şimdi $\sin (x)$ için açılımı yazıp 3 ile çarpalım:

3 \sin (x) = 3 (x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{3}))

3 \sin (x) = 3 x - \frac{3}{x^{3}} + o (x^{3})

5) Payı bulalım:

\sin (3 x) - 3 \sin (x) = (3 x - \frac{27}{x^{3}} + o (x^{3})) - (3 x - \frac{3}{x^{3}} + o (x^{3}))

\sin (3 x) - 3 \sin (x) = - \frac{24}{x^{3}} + o (x^{3})

\sin (3 x) - 3 \sin (x) = - 4 x^{3} + o (x^{3})

6) Şimdi ifadeyi $x^{3}$ ile bölelim:

\frac{\sin (3 x) - 3 \sin (x)}{x^{3}} = \frac{- 4 x^{3} + o (x^{3})}{x^{3}}

\frac{\sin (3 x) - 3 \sin (x)}{x^{3}} = - 4 + \frac{o}{(}

7) Limit alınca:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 \sin (x)}{x^{3}} = - 4

8) Sonuç $- 4$ olduğu için doğru seçenek D4513’dır.

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limiti değişim ve süreklilik ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$\lim_{x \to 0} \frac{({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{x}} - e^{2})}{x}$

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 x}{x^{3}}$

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 \sin (x)}{x^{3}}$

Limit Sık Sorulan Sorular

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limiti değişim ve süreklilik ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:limx→0x+9-3x

Aşağıdaki limiti bulunuz:limx→01+x−1x

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→0((1+2x)1x-e2)x

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?limx→0x+1−1x

Aşağıdaki limitin değerini bulun.limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:limx→01-cos⁡x-x22x4

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→4x+5-3x-4

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?limx→0sin(3x)-3xx3

Aşağıdaki limiti bulunuz:limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limiti bulunuz.limx→0sin(3x)-3sin(x)x3

Limit Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$\lim_{x \to 0} \frac{({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{x}} - e^{2})}{x}$

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 x}{x^{3}}$

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 \sin (x)}{x^{3}}$