KPSS Ön Lisans İşçi ve Havuz Problemleri konu anlatımı

KPSS Ön Lisans İşçi ve Havuz Problemleri konu anlatımı; özet anlatım, önemli noktalar ve konuya bağlı testlerle KPSS hazırlığını tamamla.

Özel rehber

KPSS Önlisans İşçi ve Havuz Problemleri konu anlatımı ve iş oranı kurma rehberi

KPSS Önlisans İşçi ve Havuz Problemleri konusu, matematik testinde bilgiyi işlemden çok doğru modele dönüştürme becerisini ölçer. İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarı merkezdedir. Bir işçinin, musluğun veya ekip çalışmasının toplam işe katkısı oran üzerinden hesaplanır. Bu sayfadaki anlatım, önlisans adayının problem metnindeki verilenleri ayırmasına, bilinmeyeni doğru seçmesine ve işlemi sınav süresine uygun biçimde kurmasına yardımcı olur. Problem sorularında en yaygın hata, metindeki ilişkiyi tam okumadan hazır formül uygulamak veya sorunun istediği değeri çözümün ara adımıyla karıştırmaktır. Bu nedenle her soruda önce verilenler, istenen değer ve ilişki cümlesi netleştirilmelidir. Düzenli pratikle i̇şçi ve havuz problemleri soruları uzun görünen ama çözüm kalıbı tanındığında hızlı ilerleyen net alanlarına dönüşür.

İşçi ve Havuz Problemleri çalışırken çözüm düzeni

Toplam işi 1 kabul ederek her kişi veya musluğun birim zamandaki işini yaz.

Birlikte çalışma varsa iş oranlarını topla.

Boşaltma yapan musluk varsa oranı çıkarma yönünde değerlendir.

İşçi sayısı artınca sürenin genellikle ters orantılı değiştiğini kontrol et.

İşçi ve Havuz Problemleri çözüm kontrol listesi

Toplam iş 1 kabul edildi mi?
Birim zamanda yapılan iş yazıldı mı?
Oranlar toplandı mı?
Boşaltma varsa çıkarıldı mı?
Ters orantı doğru kuruldu mu?
Sonuç süre mi iş miktarı mı?

KPSS Önlisans problem konuları hakkında sık sorulan sorular

İşçi problemlerinde temel mantık nedir?

Her kişinin birim zamanda yaptığı iş bulunur ve birlikte çalışma durumunda bu oranlar toplanır.

Havuz problemleri nasıl çözülür?

Dolduran muslukların oranı toplanır, boşaltan muslukların oranı çıkarılır.

Toplam iş neden 1 alınır?

Bu yöntem farklı çalışma hızlarını aynı bütün üzerinden karşılaştırmayı kolaylaştırır.

Ters orantı nerede kullanılır?

İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır; bu ilişki ters orantıdır.

En sık hata nedir?

Boşaltan musluğu toplama dahil etmek veya birim zamanı karıştırmaktır.

1. bölüm

Konu Anlatımı - İşçi Emek Problemleri - 1.Sayfa

Lise - Genel Sınav - İşçi Emek Problemleri - 1. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

İşçi – Emek Problemleri

1. Sayfa • Temel kavramlar, “iş” ve “hız” düşüncesi, en sık kullanılan kurallar

1) İş – Zaman – İş Hızı (Verim) Kavramı

İşçi–emek problemlerinde temel fikir şudur: Bir işin tamamını 1 (birim iş) kabul ederiz. Her işçinin (veya makinenin) birim zamanda yaptığı iş miktarına iş hızı (verim) deriz.

Altın Formül

İş = Hız × Zaman

Bir işi tek başına T günde bitiren bir işçinin iş hızı: $\frac{1}{T}$

Burada T “işin tamamını bitirme süresi”dir. İş hızı ise bir günde işin ne kadarının yapıldığıdır. Bu yaklaşım sayesinde, farklı işçileri aynı denklemde kolayca toplarız.

2) Birlikte Çalışma Mantığı

İki işçi birlikte çalışıyorsa hızları toplanır. Çünkü aynı zaman diliminde yaptıkları iş miktarları birikerek ilerler.

Kural

A işi a günde, B işi b günde bitirsin. Birlikte hız: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Birlikte bitirme süresi t ise: $\frac{1}{t} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Bu eşitlikleri kurarken “iş”i 1 aldığımız için, hızlar doğrudan günde yapılan iş payı olarak ifade edilir.

3) En Pratik Yöntem: “Günlük İş Payı” Tablosu

Özellikle sınav’de hızlı çözüm için şu bakış çok işe yarar: “Her işçi bir günde işin kaçta kaçını yapar?”

Mini Özet

A tek başına

Süre: a gün
Günlük pay:

\frac{1}{a}

B tek başına

Süre: b gün
Günlük pay:

\frac{1}{b}

A + B birlikte

Günlük toplam pay:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

Bitiş süresi: t gün

Not: “İşin tamamı = 1” yaklaşımı, iş bölme–birleştirme problemlerinde en temiz modeldir.

4) Klasik Tip: Birlikte Kaç Günde Biter?

A işi 12 günde, B işi 18 günde bitiriyor olsun. Birlikte bitirme süresini bulmanın yolu: hızları toplayıp tersini almak.

Örnek

A’nın hızı $\frac{1}{12}$ , B’nin hızı $\frac{1}{18}$ olur. Toplam hız: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$

Buradan $\frac{1}{t} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$ yazılır ve t bulunur.

Dikkat: Ara adımlarda “kesri yazalım” gibi belirsiz ifadelerle MathML’de eksik kesir yazılmaz; kesir tam olarak biliniyorsa kullanılır.

İlerleyen sayfalarda; işçi ayrılma–katılma, farklı verim oranları, işin bir kısmı yapıldı ve havuz/boru benzeri ters işler gibi daha zor tipleri de aynı temel mantıkla işleyeceğiz.

5) Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Süreleri toplamak

“A 12 günde, B 18 günde bitiriyor; birlikte 30 günde biter” yanlıştır. Birlikte çalışmada süreler değil hızlar toplanır.

Hata 2: İşin tamamını 1 almamak

İşin büyüklüğü verilmedikçe en güvenlisi “iş = 1” kabul etmektir. Böylece karmaşık sayılar yerine iş paylarıyla ilerlersin.

Hata 3: Kısmi çalışma durumunu atlamak

“A 3 gün çalıştı, sonra B geldi” gibi sorularda, önce yapılan işi pay olarak hesaplayıp kalan iş üzerinden devam etmek gerekir.

2. bölüm

Konu Anlatımı - İşçi Emek Problemleri - 2.Sayfa

Lise - Genel Sınav - İşçi Emek Problemleri - 2. Sayfa

Temel Seviye • Oran Mantığı

İşçi Hızlarının Oranla İfade Edilmesi

2. Sayfa • Verim oranı, hız karşılaştırması ve süre ilişkisi

1) İşçi Hızı ile Süre Arasındaki Ters Orantı

İşçi problemlerinde en kritik gerçek şudur: Hız arttıkça süre azalır. Bu ilişki ters orantıdır.

Matematiksel İfade

İş hızı: $\frac{1}{T}$

Süre: $\frac{1}{Hız}$

Yani daha hızlı çalışan işçi aynı işi daha kısa sürede bitirir.

2) Oran Verilen İşçi Problemleri

Bazen soruda doğrudan süre verilmez. Bunun yerine işçilerin hız oranı verilir.

Örnek Durum

A işçisi, B işçisinin hızının 2 katı olsun.

Hız oranı: $A : B = 2 : 1$

Süre oranı ters olur: $A : B = 1 : 2$

Çünkü hızlı olan işçi daha kısa sürede bitirir.

3) Sayısal Örnek

Örnek

A işçisi bir işi 6 günde bitiriyor. B işçisi A'nın yarısı hızla çalışıyor.

A'nın hızı: $\frac{1}{6}$

B'nin hızı bunun yarısıdır.

B'nin süresi 12 gün olur.

4) En Önemli Pratik Kural

sınav Pratik Kuralı

Hız oranı verilirse, süre oranı ters alınır.

5) Özet Tablo

İlişki Tablosu

Hız artarsa → Süre azalır
Hız azalır → Süre artar
Hız oranı → Süre oranının tersidir

3. bölüm

Konu Anlatımı - İşçi Emek Problemleri - 3.Sayfa

Lise - Genel Sınav - İşçi Emek Problemleri - 3. Sayfa

Temel Seviye • Birlikte Çalışma

Birlikte Çalışma Problemlerinin Temel Çözüm Yöntemi

3. Sayfa • İşçi hızlarını toplayarak toplam süreyi bulma

1) Temel İlke: Hızlar Toplanır

Birden fazla işçi aynı anda çalışıyorsa, toplam yapılan iş miktarı her işçinin yaptığı işin toplamıdır. Bu nedenle toplam hız, bireysel hızların toplamıdır.

Temel Denklem

A'nın hızı: $\frac{1}{a}$

B'nin hızı: $\frac{1}{b}$

Birlikte hız: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

2) Birlikte Bitirme Süresi Nasıl Bulunur?

İşin tamamı 1 kabul edilir. Birlikte hız bulunduğunda, bu hızın tersini alarak toplam süre bulunur.

Genel Denklem

Birlikte bitirme süresi t ise:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

3) Tam Çözümlü Örnek

Örnek Problem

A işçisi bir işi 4 günde, B işçisi 6 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler?

A'nın hızı: $\frac{1}{4}$

B'nin hızı: $\frac{1}{6}$

Toplam hız: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Birlikte süre t:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

4) En Kritik sınav Bilgisi

Kritik Bilgi

Birlikte çalışma süresi, her zaman tek tek çalışma sürelerinden daha küçüktür.

5) Mantık Özeti

Özet

İş = 1 kabul edilir
Hız = 1 / süre
Birlikte hız = hızların toplamı
Süre = hızın tersidir

4. bölüm

Konu Anlatımı - İşçi Emek Problemleri - 4.Sayfa

Lise - Genel Sınav - İşçi Emek Problemleri - 4. Sayfa

Orta Seviye • Kademeli Çalışma

İşçinin Sonradan Katıldığı ve Ayrıldığı Problemler

4. Sayfa • Önce yapılan iş + kalan iş mantığı, adım adım model kurma

1) Temel Fikir: İş Parçalanır

“A bir süre çalışıyor, sonra B geliyor” ya da “A bir süre çalışıp ayrılıyor” gibi sorularda yapılması gereken şey: işi parçalara ayırmak. Önce yapılan işi bulur, sonra kalan işi yeni hızla tamamlarsın.

3 Adımda Çözüm Şablonu

Hızları yaz: A için $\frac{1}{a}$ , B için $\frac{1}{b}$
Önce yapılan işi bul: (gün × hız)
Kalan işi yeni hızla bitir: kalan / toplam hız

Bu tip sorularda en büyük avantaj, işi “1” kabul edip paylarla işlem yapmaktır.

2) Katılma: “A Başlar, B Sonradan Gelir”

Örnek Senaryo

A tek başına işi 10 günde bitiriyor. A 4 gün çalıştıktan sonra B geliyor ve birlikte işi tamamlıyorlar. B tek başına işi 15 günde bitiriyor olsun.

Çözüm Mantığı

A’nın hızı: $\frac{1}{10}$ , B’nin hızı: $\frac{1}{15}$

A, 4 günde yaptığı iş miktarı: 4 × $\frac{1}{10}$

Kalan iş: 1 − (A’nın yaptığı iş) (Bu aşamada kesir tam hazır değilse MathML ile kesir yazmadan metinle ifade etmek güvenlidir.)

Sonra A ve B birlikte çalışır; toplam hız $\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$ olur. Kalan iş, bu hızla tamamlanır.

Pratik İpucu

Bu tip sorularda çoğu zaman “kalan iş” paydaları eşitleyerek kolay hesaplanır. Hızları pay olarak yazıp ortak payda ile ilerlemek işlemleri hızlandırır.

3) Ayrılma: “Birlikte Başlarlar, B Sonradan Ayrılır”

Birlikte başlayıp sonra birinin ayrıldığı sorularda da aynı yöntem geçerlidir: önce birlikte yapılan iş, sonra kalan iş.

Örnek Mantık

A ve B birlikte x gün çalışsın. Bu sürede yapılan iş: x × (toplam hız). Sonra B ayrılır; kalan işi A bitirir.

4) Sık Yapılan Hatalar

Hata: Kalan işi “süre” sanmak

“Kalan iş” bir miktardır. Süre değil. Kalan işi bitirmek için: kalan iş ÷ hız yapılır.

Hata: A’nın yaptığı işi yanlış yazmak

A 4 gün çalıştıysa yapılan iş: 4 × (A’nın hızı) olmalıdır. 4’ü paydanın içine “eklemek” gibi işlemler yanlış model kurdurur.

5. bölüm

Konu Anlatımı - İşçi Emek Problemleri - 5.Sayfa

Lise - Genel Sınav - İşçi Emek Problemleri - 5. Sayfa

Orta Seviye • Kesirli İş

İşin Belirli Bir Kısmı Yapıldıysa Çözüm Yöntemi

5. Sayfa • Yapılan iş, kalan iş ve toplam süre ilişkisi

1) İşin Tamamı = 1 Kabul Edilir

İşçi problemlerinde en önemli modelleme yöntemi: işin tamamını 1 kabul etmektir.

Örnek

İşin $\frac{1}{3}$ 'ü yapılmışsa, kalan iş:

$1 - \frac{1}{3}$

2) Yapılan İş Nasıl Hesaplanır?

Yapılan iş miktarı şu formülle bulunur:

Temel Formül

Yapılan iş = hız × süre

Eğer işçi bir işi 8 günde bitiriyorsa, günlük yaptığı iş miktarı:

$\frac{1}{8}$

3) Tam Çözümlü Örnek

Örnek Problem

Bir işçi bir işi 10 günde bitiriyor. 4 gün çalışıyor. İşin ne kadarı yapılmıştır?

Günlük hız: $\frac{1}{10}$

4 günde yapılan iş:

$4 \times \frac{1}{10}$

4) Kalan İş Nasıl Bulunur?

Kalan iş şu şekilde bulunur:

Kalan iş = 1 − yapılan iş

5) sınav İçin Kritik Bilgi

Kritik Bilgi

İşçi problemlerinin büyük kısmı şu mantığa dayanır:

Yapılan iş + kalan iş = 1

1 / 4 sayfa yüklendi